Question

如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，O是BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆切AB于D，交BC于E，若AC=EC．求证：BD=2BE．

Answer 1

答案：略
解析：

证法一：连接DE、DC、AO． ∵AB切⊙O于D，∴∠BDE=∠DCE． ∵∠B公用，∴△BDE∽△BCD，∴BD∶BE=DC∶DE． ∵∠ACB=90°，OC是半径，∴AC切⊙O于C．∴AD=AC， ∴AO⊥DC，∴∠DCE=∠CAO．∵EC是直径，∴∠EDC=90°． ∵∠ACE=90°，∴△CDE∽△ACO．∴CD∶DE=AC∶OC． ∵EC=AC，∴AC∶OC=2∶1．∴BD∶BE=2∶1，∴BD=2BE． 证法二：连接AO、DE、DC．∵EC是直径，∴∠EDC=90°． 由证法一知AD、AC都是切线，∴AD=AC．∴AO⊥DC， ∴DE∥AO，∴BD∶BE=AD∶EO．∵AC=EC，∴AD=AC=2EO． ∴BD∶BE=AD∶EO=2∶1，∴BD=2BE．

提示：

若证BD=2BE，因为BD与BE两条线段交于B点，不易直接证．在已知条件中，直角三角形，圆及切线都不直接具备线段的倍半关系，故条件中的AC=EC，因EC是直径，所以它应是造成结论成立的主要原因．这时有AC=2OC=2OE，若能沟通它们之间的关系把比值关系传递到BD∶BE即可．那么就需要利用相似形的知识，不难发现△BDE∽△BCD，且有BD∶BE=CD∶DE，而CD、DE又是△DEC的两条直角边，问题就转化为证△EDC∽△OCA