Question

如图，Rt△APC的顶点A，P在反比例函数y=

1

x

的图象上，已知P的坐标为（1，1），tanA=

1

n

（n≥2的自然数）；当n=2，3，4…2010时，A的横坐标相应为a₂，a₃，a₄，…，a₂₀₁₀，则

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

+…+

1

a2010

=（　　）

• A、

  1

  2021054

• B、2021054
• C、2022060
• D、

  1

  2010

Answer 1

分析：设CP=m，由tanA=

CP

AC

=

1

n

得AC=mn，则A（1-m，1+mn），将A点坐标代入y=

1

x

中，得出a_n=1-m的表达式，寻找运算规律．

解答：解：依题意设CP=m，
∵P点横坐标为1，则C点横坐标为1-m，
即a_n=1-m，
又∵tanA=

CP

AC

=

1

n

，
∴AC=mn，则A（1-m，1+mn），
将A点坐标代入y=

1

x

中，得（1-m）（1+mn）=1，
1-m+mn-m²n=1，
m（n-1-mn）=0，
则n-1-mn=0，
1-m=

1

n

，
则a_n=1-m=

1

n

，即

1

an

=n，
∴

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

+…+

1

a2010

=2+3+4+…+2010
=

(2+2010)×2009

2

=2021054．
故选B．

点评：本题主要考查反比例函数的图象和性质，关键是根据三角函数值设直角三角形的边长，表示A点坐标，根据A点在双曲线上，满足反比例函数解析式，从而得出一般规律．