Question

如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交于CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C.

(1)求证：AB=AC；(2)当=时，①求tan∠ABE的值；②如果AE=，求AC的值。

 

Answer 1

【答案】

（1）证明见解析(2) ①1/2②4

【解析】（1）证明：∵BE切⊙O于点B，

∴∠ABE＝∠C。························1分

∵∠EBC＝2∠C，

即  ∠ABE＋∠ABC＝2∠C。

∴∠ABC＝∠C。

∴AB＝AC。····························2分

（2）解①如图，连接AO，交BC于点F。

∵AB＝AC∴

∴AO⊥BC，且BF＝FC。·······················3分

∵  ∴∴…………………….….…….4分

设,，

由勾股定理，得AF==………………5分

∴……………………………6分

②在EBA和ECB中，

∵∠E=∠E, ∠EBA=∠ECB,  ∴△EBA∽△ECB,

∴=  ……………………………7分

∵= 

∴(※)…………………8分

由切割线定理，得

将(※)式代入上式，得…………………………9分

∵,

∴………………………………………………10分

（1）BE切⊙O于点B，根据弦切角定理得到∠ABE=∠C，把求证AB=AC的问题转化为证明∠ABC=∠C的问题．

（2）①连接AO，交BC于点F，tan∠ABE=tan∠ABF= ，转化为求AF的问题．

②在△EBA和△ECB中，∠E=∠E，∠EBA=∠ECB，得到△EBA∽△ECB，再由切割线定理，得EB²=EA×EC=EA（EA+AC），就可以求出AC的长