Question

已知：如图，AD是⊙O的切线，切点为D，AC经过圆心O，交⊙O于B，C两点，弦DE⊥AC，垂足为F，∠A=30°．
（1）△DCE是否是等边三角形？请说明理由；
（2）若⊙O的半径R=2，试求CE的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD．根据切线的性质得OD⊥AD．所以∠AOD=60°．根据垂径定理得∠DCE=60°，CE=CD．故可判定△CDE是等边三角形；
（2）由（1）知CE=DE=2DF．根据三角函数可求DF．

解答：解：（1）△DCE是等边三角形．
理由如下：
连接OD．
∵AD切⊙O于点D，∴OD⊥AD，即∠ADO=90°．
又∵∠A=30°，∴∠AOD=60°．
∵BC为⊙O的直径且DE⊥AC，
∴

BE

=

BD

；

CE

=

CD

．
∴CE=CD，∠DCE=60°．
∴△DCE是等边三角形．

（2）∵⊙O的半径R=2．∴直径BC=4．
由BC是直径知∠BEC=90°．
在Rt△BEC中，
∵Sin∠CBE=

CE

BC

=sin60°，
∴CE=BCsin60°=4×

3

2

=2

3

．

点评：此题考查切线的性质、垂径定理、三角函数的定义等知识点，综合性强，难度较大．