Question

已知：如图，AD是△ABC的高，试判断∠DAE与∠B、∠ACB之间的关系，并说明理由．

Answer 1

分析：试判断∠DAE与∠B、∠ACB之间的关系，关键是找到与这三个角有关的角．而∠AEB与这三个角有一定的数量关系．由三角形外角性质得，∠AEB=∠DAE+∠ADE=∠DAE+90°，∠AEB=∠CAE+∠ACB，∴∠DAE+90°=∠CAE+∠ACB，即∠CAE=∠DAE+90°-∠ACB．利用三角形内角和定理得，∠AEB=180°-∠B-∠BAE；又∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE=∠CAE，所以∠AEB=180°-∠B-∠CAE，即∠AEB=180°-∠B-∠CAE．又∵∠CAE=∠DAE+90°-∠ACB，∠CAE=90°-∠B-∠DAE，从而得出90°-∠B-∠DAE=∠DAE+90°-∠ACB，即∠DAE=

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（∠ACB-∠B）．

解答：解：∵∠AEB是△ADE的外角
∴∠AEB=∠DAE+∠ADE
∵AD是△ABC的高
∴∠ADE=90°
∴∠AEB=∠DAE+90°
∵∠AEB是△ACE的外角
∴∠AEB=∠CAE+∠ACB
∴∠DAE+90°=∠CAE+∠ACB
即∠CAE=∠DAE+90°-∠ACB
在△ABE中，∠B+∠BAE+∠AEB=180°
∴∠AEB=180°-∠B-∠BAE
∵AE是△ABC的角平分线
∴∠BAE=∠CAE
∴∠AEB=180°-∠B-∠CAE
∵∠AEB=∠DAE+90°
∴180°-∠B-∠CAE=∠DAE+90°
∴∠CAE=90°-∠B-∠DAE
又∵∠CAE=∠DAE+90°-∠ACB
∴90°-∠B-∠DAE=∠DAE+90°-∠ACB
∴∠DAE=

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（∠ACB-∠B）．

点评：考查三角形的内角和，角平分线与高等知识．