题目内容
【题目】如图，
为半圆
的直径，
交
于
，
为
延长线上一动点，
为
中点，
，交半径
于
，连
．下列结论：①
；②
；③
；④
为定值．其中正确结论的个数为（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】D
【解析】
根据题意可得
是
的垂直平分线，
是
的垂直平分线，可得点
是
的外心，根据圆周角定理可得∠AEP=2∠ABC，进而可判断①；
连接AC，如图1，根据圆周角定理的推论并结合①的结论可得点
和点在以点
为圆心的同一个圆上，于是可判断②；
连接BE，如图2，由①知点是的外心，然后根据圆周角定理即可判断③；
如图1，在直角
中，利用锐角三角函数和③的结论可得
，然后将
进行整理变形即得结论，进而可判断④，于是可得答案．
解：①∵点是的中点，
，∴是的垂直平分线，
∵是半
的直径，
，∴是的垂直平分线，
∴点是的外心，
∵
，∴
，
∴
，故①正确；
②连接AC，如图1，∵是半的直径，∴
，
∴点和点在以点为圆心的同一个圆上，∴
，故②正确；
③连接BE，如图2，由①知点是的外心，∴
，故③正确；
④如图1，在直角中，
，
∴
，
∴为定值，是半径的
倍，故④正确．
故选：D．
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