Question

16．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A、B、C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．
例如：三点坐标分别为A（1，2），B（-3，1），C（2，-2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．
（1）已知点A（1，2），B（-3，1），P（0，t）．
①若A、B、P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；
②A、B、P三点的“矩面积”的最小值为4．
（2）已知点E（4，0），F（0，2）M（m，4m），其中m＞0．若E、F、M三点的“矩面积”的为8，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①首先由题意可得：a=4，然后分别从：当t＞2时，h=t-1，当t＜1时，h=2-t，去分析求解即可求得答案；
②首先根据题意得：h的最小值为：1，继而求得A，B，P三点的“矩面积”的最小值．
（2）由E，F，M三点的“矩面积”的最小值为8，可得a=4，h=2，即可得$\left\{\begin{array}{l}{0≤m≤4}\\{0≤4m≤2}\end{array}\right.$．继而求得m的取值范围．

解答 解：（1）①由题意：a=4．
当t＞2时，h=t-1，
则4（t-1）=12，可得t=4，故点P的坐标为（0，4）；
当t＜1时，h=2-t，
则4（2-t）=12，可得t=-1，故点P 的坐标为（0，-1）；
②∵根据题意得：h的最小值为：1，
∴A，B，P三点的“矩面积”的最小值为4；
故答案为：4；
（2）∵E，F，M三点的“矩面积”为8，
∴a=4，h=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0≤m≤4}\\{0≤4m≤2}\end{array}\right.$．
∴0≤m≤$\frac{1}{2}$．
∵m＞0，
∴0＜m≤$\frac{1}{2}$．

点评 此题考查了反比例函数的性质以及不等式组的解法．此题属于新定义题，难度较大，解题的关键是理解a与h的含义，注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用．