Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，tan∠B=

4

3

，点P在BC边上，且BP=3．以点P为中心，将△ABC中按逆时针方向旋转90°至△A′B′C′，A′C′与AC、BC分别交于点R、Q，B′C′与AC、BC分别交于点S、P．
求：（1）线段 PC′的长；
（2）线段RS的长．

Answer 1

分析：（1）根据∠B的正切值求出AC的长，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据PC=BC-BP计算求出PC，再根据旋转的性质PC′=PC；
（2）先求出∠PSC=∠B，然后解直角三角形求出SP，利用勾股定理列式求出SC，从而求出SC′，再求出△RSC′和△PSC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，tan∠B=

4

3

，
∴AC=3×

4

3

=4，
BC=

AB2+AC2

=

32+42

=5，
∵BP=3，
∴PC=BC-BP=5-3=2，
∵△ABC按逆时针方向旋转90°得到△A′B′C′，
∴PC′=PC=2；

（2）由题意可知∠SPC=90°，
∴∠PSC=∠B，
在Rt△SPC中，∠SPC=90°，tan∠PSC=

4

3

，PC=2
∴SP=2÷

4

3

=

3

2

，
∴SC=

PC2+SP2

=

22+( 3 2 )2

=

5

2

，
∴SC′=PC′-SP=

1

2

，
∵∠RSC′=∠PSC，∠C′=∠C，
∴△RSC′∽△PSC，
∴

RS

PS

=

SC′

SC

，
即

RS

3 2

=

1 2

5 2

，
解得RS=

3

10

．

点评：本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，以及解直角三角形，熟记性质并准确识图是解题的关键．