题目内容
在平面直角坐标系xOy中，已点A(6，0)，点B(0，6)，动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过D作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D(其中点C、D按顺时针方向排列)，连接AB．
(1)当OC//AB时，∠BOC的度数为
(2)连接AC、BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．
(3)连接AD，当OC//AD时，
①求出点C的坐标；
②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．
(1) 45°或135°；(2) 当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9
+18．(3) （-
，
），（，）；是，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以当C点在y轴左侧时，有∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，有∠BOC=180°-∠OBA=135°，从而得出答案；
（2）由△OAB为等腰直角三角形得AB=OA=6，根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE，然后计算△ABC的面积；
（3）①过C点作CF⊥x轴于F，易证Rt△OCF∽Rt△AOD，则
，即
，得出CF=，再利用勾股定理计算出OF=
，则可得到C点坐标；
②由于OC=3，OF=
，得出∠COF=30°，则可得到BOC=60°，∠AOD=60°，然后根据“SAS”判断△BOC≌△AOD，从而得出∠BCO=∠ADO=90°，再根据切线的判定定理可确定直线BC为⊙O的切线．
（1）∵点A（6，0），点B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∵OC∥AB，
∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°，
当C点在y轴右侧时，∠BOC=180°-∠OBA=135°，
∴∠OBA=45°或135°；
(2) ∵△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=OA=6，
∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，
过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，
如图：此时C点到AB的距离最大值为CE的长，
∵△OAB为等腰直角三角形，
∴OE=
AB=3，
∴CE=OC+OE=3+3，
△ABC的面积=CE•AB=×（3+3）×6=9+18，
当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9+18．
(3) 如图：当C在第二象限时，过点C作CF⊥x轴于F，则∠CFO=90°，
∵OC∥AD，
∴∠COF=∠DAO，
∴∠ADO=∠COD=90°，
∴∠ADO=∠CFO，
∴△OCF∽△AOD，
∴
，即，
解得：CF=，
在Rt△OCF中，OF=，
∴C点的坐标为（-，），
同理，当C在第一象限时，C点的坐标是（，），
∴C点的坐标为（-，），（，）；
②直线BC为为⊙O的切线，理由如下：
如图：在Rt△OCF中，OC=3，CF=，
∴sin∠COF=
∴∠COF=30°，
∴∠OAD=30°，
∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，
在△BOC和△AOD中，
，
∴△BOC≌△AOD（SAS），
∴∠BCO=∠ADO=90°，
∴OC⊥BC，
∴直线BC是⊙O的切线；
考点：圆的综合题．
华东师大版一课一练系列答案
