Question

已知关于的方程与都有实数根,若这两个方程有且只有一个公共根,且,则称它们互为“同根轮换方程”．如与互为“同根轮换方程”．
（1）若关于的方程与互为“同根轮换方程”,求的值；
（2）若是关于的方程的实数根,是关于的方程的实数根,当.分别取何值时,方程与互为“同根轮换方程”,请说明理由．

Answer 1

（1）m＝－12；（2）当p＝q＝－3a时,方程与互为“同根轮换方程”.

试题分析：(1)根据同根方程条件：两个方程有且只有一个公共根,且,先求出公共根,进而求出的值；
（2）仿照（1）的过程求出.的取值,只要得到p＝q,2a× b＝ab,即可判断方程与互为“同根轮换方程”.
试题解析：（1）∵方程x²＋4x＋m＝0与x²－6x＋n＝0互为“同根轮换方程”,
∴4m＝－6n．
设t是公共根,则有t²＋4t＋m＝0,t²－6t＋n＝0．
解得,t＝．
∵4m＝－6n．
∴t＝．
∴()²＋4()＋m＝0．
∴m＝－12．
（2）若方程x²＋ax＋b＝0（b≠0）与有公共根．
则由x²＋ax＋b＝0,解得x＝．
∴．
∴b＝－6a²．
当b＝－6a²时,有x²＋ax－6a²＝0,x²＋2ax－3a²＝0．
解得,x₁＝－3a,x₂＝2a；x₃＝－3a,x₄＝a．
若p＝q＝－3a,
∵b≠0,∴－6a²≠0,∴a≠0．
∴2a≠a．即x₂≠x₄．
∵2a×b＝ab,
∴方程x²＋ax＋b＝0（b≠0）与＝0互为“同根轮换方程” ．