Question

【题目】如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴相交于点．连结两点的坐标分别为、，且当和时二次函数的函数值相等．

（1）求实数的值；

（2）若点同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为秒时，连结，将沿翻折，点恰好落在边上的处，求的值及点的坐标；

（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为项点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t=， ；（3）Q（-1，），见解析.

【解析】

（1）由题意和图形可求出函数的表达式；

（2）结合抛物线内部几何关系和性质求出t值及P点坐标；

（3）假设成立（1）若有△ACB∽△QNB则有∠ABC=∠QBN，寻找相似条件，判断是否满足．

解：（1）∵在抛物线上

∴代入得c=

∵x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等，

∴顶点横坐标,

,

又∵A（-3，0）在抛物线上，

∴9a3b+=0

由以上二式得;

（2）由（1）,

∴B（1，0），

连接BP交MN于点O1，根据折叠的性质可得：O1也为PB中点．

设t秒后有,

设P（x，y），B（1，0）

∵O1为P、B的中点可得，即,

∵A，C点坐标知AC：，P点也在直线AC上代入得t=,

即；

（3）假设成立；

①若有△ACB∽△QNB，则有∠ABC=∠QBN，

∴Q点在x轴上，AC∥QN但由题中A，C，Q，N坐标知直线的一次项系数为：，

则△ACB不与△QNB相似．

②若有△ACB∽△QBN，则有

设，

则，

代入（1）得，

或，

当时有Q（-1，）则不满足相似舍去；

当y=有Q（-1，）则，

∴存在点Q（-1，）使△ACB∽△QBN．

综上可得：Q（-1，）.