Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN过点A，且MN∥BC，点D是直线MN上一点，不与点A重合．若点E是线段AB上一点，且DE＝DA．

（1）请说明线段DE⊥DA．

（2）如图2，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段AC于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DB＝DP，理由见解析.

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠B=45°，根据平行线的性质、垂直的定义证明；

（3）利用ASA定理证明△BDF≌△PDA，根据全等三角形的性质证明即可；

解：(1)∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝45°.

∵MN∥BC，

∴∠DAE＝∠B＝45°.

∵DA＝DE，

∴∠DEA＝∠DAE＝45°，

∴∠ADE＝180°－∠DEA－∠DAE＝90°，

∴DE⊥DA.

(2)DB＝DP.

理由如下：∵DP⊥DB，

∴∠BDE＋∠EDP＝90°.

由(1)知DE⊥DA，

∴∠ADP＋∠EDP＝90°，

∴∠BDE＝∠ADP.

∵∠DEA＝∠DAE＝45°，

∴∠BED＝180°－45°＝135°，∠DAP＝∠DAE＋∠BAC＝135°，

∴∠BED＝∠DAP.

在△DEB和△DAP中，

，

∴△DEB≌△DAP(ASA)，

∴DB＝DP.