Question

【题目】如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，，过点作，交的延长线与点．若一边的边长为2，则的周长为_________．

Answer 1

【答案】或

【解析】

根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，进而可证明△EDC是等边三角形，再根据当CE=2或EF=2，结合勾股定理即可求△CEF的周长．

解：如图：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°，

∵DE∥AB，

∴∠EDC=∠B=60°，

∵EF⊥DE，

∴∠DEF=90°，

∴∠F=90°-∠EDC=30°，

∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，

∴△EDC是等边三角形．

当ED=DC=EC=2，

∵∠DEF=90°，∠F=30°，

∴DF=2DE=4，

∴EF=，CF=DFDC=42=2，

故△CEF的周长为：2+2+2=4+2；

当EF=2时，

∵∠DEF=90°，∠F=30°，

∴DF=2DE，

由勾股定理，则，
∴，

∴（负值已舍去）；

∴，，

∴，

故的周长为：=；

故答案为：或.