Question

方程

1

x

+

1

y

=

1

2002

的正整数解构成的有序数组（x，y）共有

 

组．

Answer 1

分析：首先将原方程变形求解，可得：2002（x+y）=xy，继而可得（x-2002）（y-2002）=2002²，即可得x-2002与y-2002必都是2002²的正约数，又由2002²=2²×7²×11²×13²，即可求得答案．

解答：解：∵

1

x

+

1

y

=

1

2002

，
去分母得：2002（x+y）=xy，
∴（x-2002）（y-2002）=2002²，
又∵x与y是正整数，
∴x-2002，y-2002都是整数，切都大于-2002，
∵现在两整数之积为2002²，
∴这两整数为同号，且至少有一个的绝对值不小于2002，
∴x-2002与y-2002必都是2002²的正约数，
∴方程

1

x

+

1

y

=

1

2002

的正整数解（x，y）可写成（2002+d，2002+

20022

d

），这里d为2002²的正约数，
∵2002²=2²×7²×11²×13²，
∴2002²的正约数有3⁴=81个，
∴方程

1

x

+

1

y

=

1

2002

的正整数解构成的有序数组（x，y）共有81组．
故答案为：81．

点评：此题考查了非一次不定方程的知识．注意首先根据题意得到（x-2002）（y-2002）=2002²，然后将2002²分解质因数是解此题的关键．