Question

8．在平面直角坐标系中，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象与四边形ABOC两边AC、AB分别交于点E、F，点E为AC的中点．
（1）如图1，当四边形ABOC为正方形，k=2时，BF：FA=1：1．
（2）如图2，当四边形ABOC为矩形（AC≠AB），k=2时，BF：FA=1：1．
（3）在（2）中，若k为不等于0的任意实数，BF：FA的值与（1）或（2）相同吗？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）设E（2，1），得到A（2，2），求得F的纵坐标为2，得到F（1，2），根据线段中点的性质即可得到结论；
（2）设AB=2b，AC=2a，得到E（2b，a），A（2b，2a），求得E（2b，a），F（a，2a）根据线段中点的性质即可得到结论；
（3）设AB=2b，AC=2a，得到E（2b，a），A（2b，2a），求得E（2b，a），由于E在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，得到k=2ab，求得F的纵坐标为2a，于是得到F（a，2a），根据线段中点的性质即可得到结论．

解答 解：（1）设E（2，1），则A（2，2），
∴F的纵坐标为2，
∴2=$\frac{2}{x}$，
∴x=1，
∴F（1，2），
∴F为AB的中点，
即BF：FA=1：1，
故答案为：1：1；

（2）设AB=2b，AC=2a，
则E（2b，a），A（2b，2a），
∴E（2b，a），
∴F的纵坐标为2a，
∴2a=$\frac{2}{x}$，
∴x=a，
∴F（a，2a），
∴F为AB的中点，
即BF：FA=1：1，
故答案为：1：1；

（3）设AB=2b，AC=2a，则E（2b，a），A（2b，2a），
∴E（2b，a），
∵E在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=2ab，
∴F的纵坐标为2a，
∴2a=$\frac{2ab}{x}$，
∴x=a，
∴F（a，2a），
∴F为AB的中点，
即BF：FA=1：1，
故答案为：1：1；

点评 本题考查了反比例函数的性质，正方形的性质，矩形的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．