Question

请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
先观察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

…

1

9×10

=

1

9

-

1

10

将以上等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

9×10

=+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

9

-

1

10

)=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

9

-

1

10

=1-

1

10

=

9

10

然后用你发现的规律解答下列问题：
（1）猜想并写出：

1

n(n-1)

=______；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2010×2011

=______；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=______；
（3）探究并计算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2012×2014

．

Answer 1

（1）根据题意得：

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

；
（2）①原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2010

-

1

2011

=1-

1

2011

=

2010

2011

；
②原式═1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；
（3）原式=

1

2

×（

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+…+

1

2012

-

1

2014

）=

1

2

×（

1

2

-

1

2014

）=

503

2014

．
故答案为：（1）

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

；（2）①

2010

2011

；②

n

n+1