Question

探索：（1）如果

3x-2

x+1

=3+

m

x+1

，则m=

-5

；
（2）如果

5x-3

x+2

=5+

m

x+2

，则m=

-13

；
总结：如果

ax+b

x+c

=a+

m

x+c

（其中a、b、c为常数），则m=

b-ac

；
应用：利用上述结论解决：若代数式

4x+2

x-1

的值为整数，求满足条件的整数x的值．

Answer 1

分析：（1）变形

3(x+1)-5

x+1

=3+

m

x+1

，把

3x-2

x+1

化为真分式得到3+

-5

x+1

=3+

m

x+1

，即可得到m的值；
（2）与（1）的变形方法一样；
对于

ax+b

x+c

=a+

m

x+c

（其中a、b、c为常数），与（1）一样易得到a+

b-ac

x+c

=a+

m

x+c

，即可得到m的值；
对于

4x+2

x-1

，变形得到

4(x-1)+6

x-1

=4+

6

x-1

，根据整数的整除性得到x-1为±1，±2，±3，±6，即可得到x的值．

解答：解：（1）∵

3x-2

x+1

=3+

m

x+1

，
∴

3(x+1)-5

x+1

=3+

m

x+1

∴3+

-5

x+1

=3+

m

x+1

∴m=-5；
（2）∵

5x-3

x+2

=5+

m

x+2

，
∴5+

-13

x+1

=5+

m

x+1

，
∴m=-13；
若

ax+b

x+c

=a+

m

x+c

（其中a、b、c为常数），
∴a+

b-ac

x+c

=a+

m

x+c

，
∴m=b-ac．
故答案为-5，-13，b-ac．

4x+2

x-1

=

4(x-1)+6

x-1

=4+

6

x-1

，
∵代数式

4x+2

x-1

的值为整数，x为整数，
∴x-1为整数，并且x-1为±1，±2，±3，±6，
∴x=-5，-2，-1，0，2，3，4，7．

点评：本题考查了分式的混合运算：先进行分式的乘除运算（即把分式的分子或分母因式分解，然后约分），再进行分式的加减运算（异分母通过通分化为同分母）；有括号先算括号．也考查了整数的整除性．