Question

如图，在△ABC和△DCE中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，将△DCE绕点C旋转（0°＜∠ACD＜180°），连结BD和AE：

（1）求证：△BCD≌△ACE；

（2）试确定线段BD和AE的数量关系和位置关系；

（3）连接AD和BE，在旋转过程中，△ACD的面积记为S₁，△BCE的面积记为S₂，试判断S₁和S₂的大小，并给予证明．

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质．

【分析】（1）先求得∠BCD=∠ACE，然后根据SAS即可证得△BCD≌△ACE；

（2）由△BCD≌△ACE，得出BD=AE，∠DBC=∠EAC，然后根据三角形内角和定理即可证得∠AOH=90°；

（3）作DM⊥AC于M，EN⊥BC于N，根据同角的余角相等得出∠MCD=∠NCE，然后根据AAS证得△DCM≌△ECN，得出DM=EN，然后根据三角形面积就可证得S₁=S₂．

【解答】（1）证明：∵∠ABC=∠DCE=90°，

∴∠ABC+∠ACD=∠DCE+∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，

在△BCD与△ACE中

∴△BCD≌△ACE（SAS）；

（2）解：如图1，∵△BCD≌△ACE

∴BD=AE，∠DBC=∠EAC

∵∠AHO=∠BHC

∴∠AHO+∠EAC=∠BHC+∠DBC=90°

∴∠AOH=90°

∴BD⊥AE

（3）解：如图2，作DM⊥AC于M，EN⊥BC于N，

∵∠MCD+∠DCN=90°，∠ECN+∠DCN=90°，

∴∠MCD=∠NCE，

在△DCM和△ECN中

∴△DCM≌△ECN（AAS），

∴DM=EN，

∵S₁=AC•DM，S₂=BC•EN，

∵AC=BC，

∴S₁=S₂．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质以及三角形面积等，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键．