Question

如图，AB是⊙O的直径，AB=6

2

，M是弧AB的中点，OC⊥OD，△COD绕点O旋转与△AMB的两边分别交于E、F（点E、F与点A、B、M均不重合），与⊙O分别交于P、Q两点．
（1）求证：OE=OF；
（2）连接PM、QM，试探究：在△COD绕点O旋转的过程中，∠PMQ是否为定值？若是，求出∠PMQ的大小；若不是，请说明理由；
（3）连接EF，试探究：在△COD绕点O旋转的过程中，△EFM的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得∠AMB=90°，由M是弧AB的中点得弧MB=弧MA，于是可判断△AMB为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得∠ABM=∠BAM=∠OMA=45°，OM⊥AB，MB=

2

2

AB=6，再利用等角的余角相等得∠BOE=∠MOF，则可根据“SAS”判断△OBE≌△OMF，所以OE=OF；
（2）根据圆周角定理得到∠BMQ=

1

2

∠BOQ，∠AMP=

1

2

∠AOP，则∠BMQ+∠AMP=

1

2

（∠BOQ+∠AOP）=45°，所以∠PMQ=∠BMQ+∠AMB+∠AMP=135°；
（3）易得△OEF为等腰直角三角形，则EF=

2

OE，再由△OBE≌△OMF得BE=MF，所以△EFM的周长=EF+MF+ME=EF+MB=

2

OE+6，根据垂线段最短得当OE⊥BM时，OE最小，此时OE=

1

2

BM=3，所以△EFM的周长的最小值为9．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AMB=90°，
∵M是弧AB的中点，
∴弧MB=弧MA，
∴MA=MB，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴∠ABM=∠BAM=45°，∠OMA=45°，OM⊥AB，MB=

2

2

AB=

2

2

×6

2

=6，
∴∠MOE+∠BOE=90°，
∵∠COD=90°，
∴∠MOE+∠MOF=90°，
∴∠BOE=∠MOF，
在△OBE和△OMF中，

OB=OM ∠OBE=∠OMF ∠BOE=∠MOF

，
∴△OBE≌△OMF（SAS），
∴OE=OF；

（2）解：∠PMQ为定值．
∵∠BMQ=

1

2

∠BOQ，∠AMP=

1

2

∠AOP，
∴∠BMQ+∠AMP=

1

2

（∠BOQ+∠AOP），
∵∠COD=90°，
∴∠BOQ+∠AOP=90°，
∴∠BMQ+∠AMP=

1

2

×90°=45°，
∴∠PMQ=∠BMQ+∠AMB+∠AMP=45°+90°=135°；
（3）解：△EFM的周长有最小值．
∵OE=OF，
∴△OEF为等腰直角三角形，
∴EF=

2

OE，
∵△OBE≌△OMF，
∴BE=MF，
∴△EFM的周长=EF+MF+ME
=EF+BE+ME
=EF+MB
=

2

OE+6，
当OE⊥BM时，OE最小，此时OE=

1

2

BM=

1

2

×6=3，
∴△EFM的周长的最小值为3+6=9．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质；运用全等三角形的判定解决线段相等的问题．