Question

2．图1是太阳能热水器装置的示意图．利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算：
如图2，AB⊥BC，垂足为点B，EA⊥AB，垂足为点A，CD∥AB，CD=10cm，DE=120cm，FG⊥DE，垂足为点G．
（1）若∠θ=37°50′，则AB的长约为83.2cm；
（参考数据：sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78）
（2）若FG=30cm，∠θ=60°，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）作EP⊥BC、DQ⊥EP，知CD=PQ=10，∠2+∠3=90°，由∠1+∠θ=90°且∠1=∠2知∠3=∠θ=37°50′，根据EQ=DEsin∠3和AB=EP=EQ+PQ可得答案；
（2）延长ED、BC交于点K，结合（1）知∠θ=∠3=∠K=60°，从而由CK=$\frac{CD}{tan∠K}$、KF=$\frac{GF}{sin∠K}$可得答案．

解答 解：（1）如图，作EP⊥BC于点P，作DQ⊥EP于点Q，

则CD=PQ=10，∠2+∠3=90°，
∵∠1+∠θ=90°，且∠1=∠2，
∴∠3=∠θ=37°50′，
则EQ=DEsin∠3=120×sin37°50′，
∴AB=EP=EQ+PQ=120sin37°50′+10=83.2，
故答案为：83.2；

（2）如图，延长ED、BC交于点K，
由（1）知∠θ=∠3=∠K=60°，
在Rt△CDK中，CK=$\frac{CD}{tan∠K}$=$\frac{10}{\sqrt{3}}$，
在Rt△KGF中，KF=$\frac{GF}{sin∠K}$=$\frac{30}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{60}{\sqrt{3}}$，
则CF=KF-KC=$\frac{60}{\sqrt{3}}$-$\frac{10}{\sqrt{3}}$=$\frac{50}{\sqrt{3}}$=$\frac{50\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查解直角三角形的应用，根据题意构建所需直角三角形和熟练掌握三角函数是解题的关键．