Question

【题目】如图，在中，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连结、、．若，，，则周长的最小值是_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

作点O关于AB的对称点M，点O关于AD的对称点N，连接MN交AB于F，交AD于E，此时△OEF的周长最小，周长的最小值＝MN，由作图得AN＝AO＝AM，∠NAD＝∠DAO，∠MAB＝∠BAO，于是得到∠MAN＝90°，过D作DP⊥AB于P，则△ADP是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到AP＝DP＝AD，求得AP＝DP＝5，根据三角形的中位线的性质得到OQ＝DP＝，BQ＝BP＝（ABAP）＝1，根据勾股定理求出AO＝，然后根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

解：作点O关于AB的对称点M，点O关于AD的对称点N，连接MN交AB于F，交AD于E，此时△OEF的周长最小，周长的最小值＝MN，

∴AN＝AO＝AM，∠NAD＝∠DAO，∠MAB＝∠BAO，

∵∠DAB＝45°，

∴∠MAN＝90°，

过D作DP⊥AB于P，则△ADP是等腰直角三角形，

∴AP＝DP＝AD，

∵AD＝BC＝，

∴AP＝DP＝5，

设OM⊥AB于Q，则OQ∥DP，

∵OD＝OB，

∴OQ＝DP＝，BQ＝BP＝（ABAP）＝1，

∴AQ＝6，

∴AO＝，

∴AM＝AN＝AO＝，

∴MN＝AM＝，

∴△OEF周长的最小值是．

故答案为：．