Question

如图，AB为量角器（半圆O）的直径，等腰直角△BCD的斜边BD交量角器边缘于点G，直角边CD切量角器于读数为60°的点E处（即弧AE的度数为60°），第三边交量角器边缘于点F处．
（1）求量角器在点G处的读数α（0°＜α＜90°）；
（2）若AB=8 cm，求阴影部分面积．

Answer 1

分析：（1）连接OE，OF，证明∠ABC=60°，然后算出∠ABG．
（2）阴影部分的面积等于扇形OBF的面积-三角形OBF的面积．

解答：解：连接OE，OF
（1）∵CD切半圆O于点E
∴OE⊥CD（1分），
∵BD为等腰直角△BCD的斜边，
∴BC⊥CD，∠CDB=∠CBD=45°，
∴OE∥BC（2分），
∴∠ABC=∠AOE=60°，
∴∠ABG=∠ABC-∠CBD=60°-45°=15°，（3分）
∴量角器在点G处的读数α=弧AG的度数=2∠ABG=30°，（4分）

（2）∵OF=OB=

1

2

AB=4cm，∠ABC=60°，
∴△OBF为正三角形，∠BOF=60°，（5分）
∴S_扇形OBF=

1

6

×4²•π=

8

3

π（cm²），（6分）
S_△OBF=

3

4

×4²=4

3

（cm²），（7分）
∴S_阴影=S_扇形OBF-S_△OBF=（

8

3

π-4

3

）cm²
∴阴影部分的面积为（

8

3

π-4

3

）cm²（8分）．

点评：本题主要考查扇形面积的计算，求阴影面积需要转换成求扇形面积和三角形面积．