Question

如图，AB为量角器（半圆O）的直径，等腰直角△BCD的斜边BD交量角器边缘于点G，直角边CD切量角器于读数为60°的点E处（即弧AE的度数为60°），第三边交量角器边缘于点F处．
（1）求量角器在点G处的读数α（90°＜α＜180°）；
（2）若AB=12cm，求阴影部分面积．

Answer 1

分析：（1）连接OE，OF，则OE⊥CD，由BD为等腰直角△BCD的斜边，则BC⊥CD，从而求得∠D=∠CBD，进而得出∠ABG的度数，则可求得α为150°；
（2）根据已知可得出△OBF为正三角形，则∠BOF=60°，再求得S_扇形和S_△OBF，从而得出S_阴影即可．

解答：解：连接OE，OF，
（1）∵CD切半圆O于点E∴OE⊥CD，
∵BD为等腰直角△BCD的斜边，∴BC⊥CD，∠D=∠CBD=45°，
∴OE∥BC∴∠ABC=∠AOE=60°，∴∠ABG=∠ABC-∠CBD=60°-45°=15°
∴弧AG的度数=2∠ABG=30°，∴量角器在点G处的读数α=弧AG的度数=30°    （4分）

（2）∵OF=OB=

1

2

AB=6cm，∠ABC=60°，∴△OBF为正三角形，∠BOF=60°，
∴S_扇形=

60×π×62

360

=6π（cm²），S_△OBF=

3

4

×6²=9

3

（cm²），
∴S_阴影=S_扇形-S_△OBF=（6π-9

3

）cm²
∴阴影部分的面积为（6π-9

3

）cm²．（4分）

点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理以及扇形面积的计算，是一道综合题，难度不大．