Question

（2013•邢台一模）如图，在Rt△ABC中，BC=20cm，AC=hcm，四边形DEFC是矩形且点D、E、F在△ABC的边上，设AD=xcm，矩形DEFC的面积为ycm²．
（1）当h=30cm时，求y与x之间的函数关系式；
（2）当h=30cm时，若y=96cm²，求x的值；
（3）h取何值时，y的最大值为180cm²？

Answer 1

分析：（1）由矩形的性质可知：DE∥CF，由此可得△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得y与x之间的函数关系式；
（2）把h=30cm时，y=96cm²，代入（1）中的函数关系求出x的值即可；
（3）由（1）的思路可得到y和h的函数关系，利用函数的性质即可求出y的最大值为180cm²时，h的值．

解答：解：（1）∵四边形DEFC是矩形，
∴DE∥CF，
∴△ADE∽△ACB，
∴

AD

AC

=

DE

BC

，
∴

x

30

=

DE

20

，
∴DE=

2

3

x，
∵CD=30-x，
∴y=

2

3

x（30-x）=-

2

3

x²+20x；

（2）当h=30cm时，y=96cm²时，则96=-

2

3

x²+20x，
解得：x=24或6；

（3）由（1）可知

AD

AC

=

DE

BC

，
∴

x

h

=

h-x

20

，
∴y=-

20

h

x²+20x，
当x=-

20

2× 20 -h

=

1

2

h时，y的取值最大为

4× 20 -h ×0-202

4× 20 -h

=5h，
∴y的最大值为180cm²时则5h=180，
∴h=36．

点评：本题主要考查了矩形的对边平行且相等的性质，相似三角形的判定和性质以及二次函数的最值问题，利用数形结合找出相似三角形是解题的关键．