Question

如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC和∠EAC的平分线交于点D，∠ABD和∠BAD的平分线交于点F，则∠AFB的度数为________．

Answer 1

112.5°
分析：根据角平分线的定义得∠EAC=2∠3，∠ABC=2∠ABD，再根据外角性质有∠3=∠D+∠ABD，∠EAC=∠C+∠ABC，变形后有2∠3=2∠D+2∠ABD=∠C+∠ABC，则∠C=2∠D，而∠C=90°，可计算出∠D=45°；由∠ABD和∠BAD的平分线交于点F，则∠DAB=2∠FAB，∠ABD=2∠1，根据三角形内角和定理得到∠DAB+∠ABD+∠D=180°，∠FAB+∠1+∠AFB=180°，变形得2∠FAB+2∠1+2∠AFB=360°，代换后得180°-∠D+2∠AFB=360°，即∠AFB=90°+∠D，把∠D=45°代入计算即可．
解答：如图，
∵∠ABC和∠EAC的平分线交于点D，
∴∠EAC=2∠3，∠ABC=2∠ABD，
又∵∠3=∠D+∠ABD，∠EAC=∠C+∠ABC，
∴2∠3=2∠D+2∠ABD=∠C+∠ABC，
∴∠C=2∠D，而∠C=90°，
∴∠D=45°，
又∵∠ABD和∠BAD的平分线交于点F，
∴∠DAB=2∠FAB，∠ABD=2∠1，
而∠DAB+∠ABD+∠D=180°，∠FAB+∠1+∠AFB=180°，
∴2∠FAB+2∠1+2∠AFB=360°，
∴∠DAB+∠ABD+2∠AFB=360°，
∴180°-∠D+2∠AFB=360°，
∴∠AFB=90°+∠D，
而∠D=45°，
∴∠AFB=90°+22.5°=112.5°．
故答案为112.5°．
点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义．