Question

【题目】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．

这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ ，b＝ ；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：4＋2 ＝（1＋ ）2；（答案不唯一）

（3）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）m2＋3n2，2mn；（2），（答案不唯一）；（3）7或13．

【解析】

（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2=m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）取m=2，n=1，则计算对应的a、b的值，然后填空即可；
（3）利用a=m2+3n2，2mn=4和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a的值．

解：（1）（m+n）2=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn，

故答案为：m2＋3n2，2mn；
（2）取m=2，n=1，则a=7，b=4，∴7+4=（2+）2，

故答案为：，（答案不唯一）；
（3）a=m2+3n2，2mn=4，
∵a、m、n均为正整数，
∴m=2，n=1或m=1，n=2，
当m=2，n=1时，a=4+3=7，
当m=1，n=2时，a=1+3×4=13，
∴a的值为7或13．