Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，若动点P从点B开始，按B→A→C→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．求：
（1）当t为几秒时，CP平分∠ACB？
（2）当t为何值时，△PBC为等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理得出AC=10，过点P作PD⊥AB于点D，由HL证明Rt△CPD≌Rt△CPB，得出CD=BC=6，因此AD=10-6=4，设PB=x cm，则PA=8-x，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）利用分类讨论的思想和等腰三角形的特点及三角形的面积求出答案．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
如图所示，过点P作PD⊥AB于点D，
∵CP平分∠ACB，
∴PD=PB．                                
在Rt△CPD与Rt△CPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD=PB}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴Rt△CPD≌Rt△CPB（HL），
∴CD=BC=6，
∴AD=10-6=4．                            
设PB=x，则PA=8-x，
在Rt△APD中，PD²+AD²=PA²，
即x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴当t=3秒时，CP平分∠ACB；                             

（2）如图1，

若P在边AB上时，BC=BP=6，
此时用的时间为6÷2=3s，△PBC为等腰三角形；
若P在AC边上时，有两种情况：
①如图2，

若使CP=CB=6，此时AP=4，P运动的路程为12，
所以用的时间为12÷2=6s，故t=12s时△PBC为等腰三角形；
②如图3，

若BP=BC=6，过B作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，
根据勾股定理求得BCP=7.2，
所以P运动的路程为18-7.2=10.8，
∴t的时间为10.8÷2=5.4s，△PBC为等腰三角形；
③如图4，

若BP=CP时，则∠PCB=∠PBC，
∵∠ABP+∠CBP=90°，∠PCB+∠CAB=90°，
∴∠ABP=∠CAB，
∴PA=PB
∴PA=PC=5，
∴P的路程为13，所以时间为13÷2=6.5s时，△PBC为等腰三角形．
∴t=3s或6s或5.4s或 6.5s 时△PBC为等腰三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．