Question

9．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AE平分∠CAB，且BE²=DE•AE．求证：BE⊥AE．

Answer 1

分析 先根据BE²=DE•AE，∠E=∠E，判定△DEB∽△BEA，再根据相似三角形的性质，得出∠DBE=∠BAE，再根据AE平分∠CAB，得到∠BAE=∠CAD，进而得到∠DBE=∠DAC，最后根据∠ADC=∠BDE，得出∠ACD=∠BED=90°即可．

解答 证明：∵BE²=DE•AE，
∴$\frac{DE}{BE}$=$\frac{BE}{AE}$，
又∵∠E=∠E，
∴△DEB∽△BEA，
∴∠DBE=∠BAE，
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE=∠CAD，
∴∠DBE=∠DAC，
又∵∠ADC=∠BDE，
∴∠ACD=∠BED=90°，
∴BE⊥AE．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．