Question

15．若实数x，y满足（x-$\sqrt{{x}^{2}-2016}$）（y-$\sqrt{{y}^{2}-2016}$）=2016．
（1）求x，y之间的数量关系；
（2）求3x²-2y²+3x-3y-2017的值．

Answer 1

分析 （1）将式子变形后，再分母有理化得①式：x-$\sqrt{{x}^{2}-2016}$=y+$\sqrt{{y}^{2}-2016}$，同理得②式：x+$\sqrt{{x}^{2}-2016}$=y-$\sqrt{{y}^{2}-2016}$，将两式相加可得结论；
（2）将x=y代入原式或①式得：x²=2016，代入所求式子即可．

解答 解：（1）∵（x-$\sqrt{{x}^{2}-2016}$）（y-$\sqrt{{y}^{2}-2016}$）=2016，
∴x-$\sqrt{{x}^{2}-2016}$=$\frac{2016}{y-\sqrt{{y}^{2}-2016}}$=$\frac{2016（y+\sqrt{{y}^{2}-2016}）}{{y}^{2}-（{y}^{2}-2016）}$=y+$\sqrt{{y}^{2}-2016}$①，
同理得：x+$\sqrt{{x}^{2}-2016}$=y-$\sqrt{{y}^{2}-2016}$②，
①+②得：2x=2y，
∴x=y，
（2）把x=y代入①得：x-$\sqrt{{x}^{2}-2016}$=x+$\sqrt{{x}^{2}-2016}$，
x²=2016，
则3x²-2y²+3x-3y-2017，
=3x²-2x²+3x-3x-2017，
=x²-2017，
=2016-2017，
=-1．

点评 本题是二次根式的化简和求值，有难度，考查了二次根式的性质和分母有理化；二次根式中分母中含有根式时常运用分母有理化来解决，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．本题利用巧解将已知式变成两式，相加后得出结论．