Question

2．如图，△ABC中，∠C=90°，⊙P为△ABC的内切圆，点O为△ABC的外心，BC=6，AC=8，则OP的长为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{12}{5}$

Answer 1

分析 过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，PF⊥AB，由点P是内切圆的圆心可知PD=PE=PF，再由切线长定理可知CD=CE，BE=BF，故可得出四边形PDCE是正方形，再由勾股定理求出AB的长，故可得出PD的长，由BE=BC-CE可得出BE的长，根据点O为直角三角形的外心可得出OB的长，进而得出OF的长，根据勾股定理即可得出结论．

解答 解：过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，PF⊥AB，
∵点P是内切圆的圆心，
∴PD=PE=PF，CD=CE，BE=BF
∴四边形PDCE是正方形．
∵△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴PE=PF=PE=$\frac{6+8-10}{2}$=2，
∴BE=BF=6-2=4．
∵点O为△ABC的外心，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴OF=OB-BF=5-4=1，
∴OP=$\sqrt{{OF}^{2}+{PF}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故选C．

点评 本题考查的是三角形的内切圆与内心，熟知直角三角形的内心与外心的求法是解答此题的关键．