题目内容

操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN。
探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。
①AN=NC（如图②）；
②DM∥AC（如图③）。
附加题：若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由。

解：BM+CN=MN
证明：如图，延长AC至M1，使CM1=BM，连结DM1，
由已知条件知：∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
∵BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM1，
∴∠MDB=∠M1DC，DM=DM1，
∴∠MDM1=（120°-∠MDB）+∠M1DC=120°，
又∵∠MDN=60°，
∴∠M1DN=∠MDN=60°，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN=NM1=NC+CM1=NC+MB；
附加题： CN-BM=MN，
证明：如图，在CN上截取，使CM1=BM，连结DM1，
∵∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠DBM=∠DCM1=90°，
∵BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM1，
∴∠MDB=∠M1DC，
DM=DM1，
∵∠BDM+∠BDN=60°，
∴∠CDM1+∠BDN=60°，
∴∠NDM1=∠BDC-（∠M1DC+∠BDN）=120°-60°=60°
∴∠M1DN=∠MDN，
∵AD=AD，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN=NM1=NC-CM1=NC-MB。


练习册系列答案
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如图1，在直角梯形ABCD中，CD∥AB，CB⊥AB，BC=6cm，DC=6cm，AD=10cm
（1）求AB的长．
（2）操作：如图2，过点D作DE⊥AB于E．将直角梯形ABCD沿DE剪开，得到四边形DEBC和△ADE．四边形DEBC不动，将△ADE沿射线AD的方向，以每秒1cm的速度平移，当点A平移到点D时，停止平移．
探究：设在平移过程中，△ADE与四边形DEBC重叠部分的面积为ycm2，平移时间为x秒，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围？
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23、动手操作：
如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．
提出问题：
（1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；
（2）请写出三个代数式（a+b）2，（a-b）2，ab之间的一个等量关系．
问题解决：
根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：
已知：x+y=6，xy=3．求：（x-y）2的值．
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．
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（2）如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，若将△ABC绕点A旋转一周，那么边BC扫过的图形为
 
，面积为
 
．
（3）若将图3中的Rt△ABC绕点C旋转一周，则边AB扫过的图形是什么？面积为多少？
（结果中保留π）
（1）动手操作：
如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为
 
．
（2）观察发现：
小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
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（3）实践与运用：
将矩形纸片ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④），求∠MNF的大小．
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（2011•裕华区二模）如图①，将两个等腰直角三角形叠放在一起，使上面三角板的一个锐角顶点与下面三角板的直角顶点重合，并将上面的三角板绕着这个顶点逆时针旋转，在旋转过程中，当下面三角板的斜边被分成三条线段时，我们来研究这三条线段之间的关系．
（1）实验与操作：
如图②，如果上面三角板的一条直角边旋转到CM的位置时，它的斜边恰好旋转到CN的位置，请在网格中分别画出以AM、MN和NB为边长的正方形，观察这三个正方形的面积之间的关系；
（2）猜想与探究：
如图③，在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，M、N是AB边上的点，∠MCN=45°，作DA⊥AB于点A，截取DA=NB，并连接DC、DM．
我们来证明线段CD与线段CN相等．
∵∠CAB=∠CBA=45°，又DA⊥AB于点A，
∴∠DAC=45°，∴∠DAC=∠CBA，
又∵DA=NB，BC=AC，
∴△CAD≌△CBN．
∴CD=CN．

请你继续解答：
①线段MD与线段MN相等吗？为什么？
②线段AM、MN、NB有怎样的数量关系，为什么？
（3）拓广与运用：
如图④，已知线段AB上任意一点M（AM＜MB），是否总能在线段MB上找到一点N，使得分别以AM与BN为边长的正方形的面积的和等于以MN为边长的正方形的面积？若能，请在图④中画出点N的位置，并简要说明作法；若不能，请说明理由．

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