题目内容
（2011•裕华区二模）如图①，将两个等腰直角三角形叠放在一起，使上面三角板的一个锐角顶点与下面三角板的直角顶点重合，并将上面的三角板绕着这个顶点逆时针旋转，在旋转过程中，当下面三角板的斜边被分成三条线段时，我们来研究这三条线段之间的关系．
（1）实验与操作：
如图②，如果上面三角板的一条直角边旋转到CM的位置时，它的斜边恰好旋转到CN的位置，请在网格中分别画出以AM、MN和NB为边长的正方形，观察这三个正方形的面积之间的关系；
（2）猜想与探究：
如图③，在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，M、N是AB边上的点，∠MCN=45°，作DA⊥AB于点A，截取DA=NB，并连接DC、DM．
我们来证明线段CD与线段CN相等．
∵∠CAB=∠CBA=45°，又DA⊥AB于点A，
∴∠DAC=45°，∴∠DAC=∠CBA，
又∵DA=NB，BC=AC，
∴△CAD≌△CBN．
∴CD=CN．
请你继续解答：
①线段MD与线段MN相等吗？为什么？
②线段AM、MN、NB有怎样的数量关系，为什么？
（3）拓广与运用：
如图④，已知线段AB上任意一点M（AM＜MB），是否总能在线段MB上找到一点N，使得分别以AM与BN为边长的正方形的面积的和等于以MN为边长的正方形的面积？若能，请在图④中画出点N的位置，并简要说明作法；若不能，请说明理由．
（1）实验与操作：
如图②，如果上面三角板的一条直角边旋转到CM的位置时，它的斜边恰好旋转到CN的位置，请在网格中分别画出以AM、MN和NB为边长的正方形，观察这三个正方形的面积之间的关系；
（2）猜想与探究：
如图③，在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，M、N是AB边上的点，∠MCN=45°，作DA⊥AB于点A，截取DA=NB，并连接DC、DM．
我们来证明线段CD与线段CN相等．
∵∠CAB=∠CBA=45°，又DA⊥AB于点A，
∴∠DAC=45°，∴∠DAC=∠CBA，
又∵DA=NB，BC=AC，
∴△CAD≌△CBN．
∴CD=CN．
请你继续解答：
①线段MD与线段MN相等吗？为什么？
②线段AM、MN、NB有怎样的数量关系，为什么？
（3）拓广与运用：
如图④，已知线段AB上任意一点M（AM＜MB），是否总能在线段MB上找到一点N，使得分别以AM与BN为边长的正方形的面积的和等于以MN为边长的正方形的面积？若能，请在图④中画出点N的位置，并简要说明作法；若不能，请说明理由．
分析：（1）根据题意画出图形即可；
（2）①根据SAS证△CDM≌△CNM即可；②根据勾股定理推出AM2+DA2=DM2，把DA=NB，MD=MN代入求出即可；
（3）根据③图形，作等腰直角三角形ACB，∠ACB=90°，在∠ACB内部作∠MCN=45°即可．
（2）①根据SAS证△CDM≌△CNM即可；②根据勾股定理推出AM2+DA2=DM2，把DA=NB，MD=MN代入求出即可；
（3）根据③图形，作等腰直角三角形ACB，∠ACB=90°，在∠ACB内部作∠MCN=45°即可．
解答：解：（1）如图所示：以AM为边的正方形的面积加上以BN为边的正方形的面积等于移NM为边的正方形的面积． 
．
（2）①线段MD与线段MN相等．
理由是：在△CDM和△CNM中
，
∴△CDM≌△CNM，
∴MD=MN．
②AM2+NB2=MN2，
理由是：∵在Rt△DAM中，AM2+DA2=DM2，
又∵DA=NB，MD=MN，
∴AM2+NB2=MN2．
（3）能在线段MB上找到点N，作法如下：
作AC=BC，且∠ACB=90°，连接CM，作∠MCN=45°，交AB于点N．
．（2）①线段MD与线段MN相等．
理由是：在△CDM和△CNM中
|
∴△CDM≌△CNM，
∴MD=MN．
②AM2+NB2=MN2，
理由是：∵在Rt△DAM中，AM2+DA2=DM2，
又∵DA=NB，MD=MN，
∴AM2+NB2=MN2．
（3）能在线段MB上找到点N，作法如下：
作AC=BC，且∠ACB=90°，连接CM，作∠MCN=45°，交AB于点N．
点评：本题综合考查了勾股定理，等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点的应用，关键是考查学生能根据题意得出规律，题型较好，有一定的难度．
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