Question

10．某工厂在生产过程中每消耗1万度电可以产生产值5.5万元，电力公司规定，该工厂每月用电量不得超过16万度，月用电量不超过4万度时，单价是1万元/万度；超过4万度时，超过部分电量单价将按用电量进行调查，电价y与月用电量x的函数关系可用如图来表示．（效益=产值-用电量×电价）
（1）设工厂的月效益为z（万元），写出z与月用电量x（万度）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求工厂最大月效益．

Answer 1

分析 （1）根据题意知电价y与月用电量x的函数关系是分段函数，当0≤x≤4时，y=1，当4＜x≤16时，函数过点（4，1）和（8，1.5）的一次函数，求出解析式；再根据效益=产值-用电量×电价，求出z与月用电量x（万度）之间的函数关系式；
（2）根据（1）中得到函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质，求出最值．

解答 解：（1）根据题意得：电价y与月用电量x的函数关系是分段函数，
当0≤x≤4时，y=1，
当4＜x≤16时，函数过点（4，1）和（8，1.5）的一次函数，
设一次函数为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=1}\\{8k+b=1.5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{8}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}$，
∴电价y与月用电量x的函数关系为：y=$\left\{\begin{array}{l}{1（0≤x≤4）}\\{\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}（4＜x≤16）}\end{array}\right.$
∴z与月用电量x（万度）之间的函数关系式为：z=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{11}{2}x-x×1（0≤x≤4）}\\{\frac{11}{2}x-4×1-（x-4）（\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}）（4＜x≤16}\end{array}\right.$
即z=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}x（0≤x≤4）}\\{-\frac{1}{8}{x}^{2}+\frac{11}{2}x-2（4＜x≤16）}\end{array}\right.$

（2）当0≤x≤4时，z=$\frac{9}{2}x$
∵$\frac{9}{2}＞0$，
∴z随x的增大而增大，
∴当x=4时，z有最大值，最大值为：$\frac{9}{2}×4$=18（万元）；
当4＜x≤16时，z=-$\frac{1}{8}{x}^{2}+\frac{11}{2}x-2$=-$\frac{1}{8}（x-22）^{2}+\frac{117}{2}$，
∵-$\frac{1}{8}＜0$，
∴当x≤22时，z随x增大而增大，
16＜22，则当x=16时，z最大值为54，
故当0≤x≤16时，z最大值为54，即工厂最大月效益为54万元．

点评 本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是图中的函数为分段函数，分别求出个函数的解析式，注意自变量的取值范围．对于最值问题，借助于一次函数的性质和二次函数的性质进行解答．