Question

【题目】已知边长为 3 的正方形中， 点在射线上， 且，连接交射线于点，若沿直线翻折， 点落在点处 ．

（1）如图1，若点在线段上，求的长；

（2）求的值；

（3）如果题设中“”改为“”， 其它条件都不变， 试写出翻折后与正方形公共部分的面积与的关系式及自变量的取值范围（只要写出结论，不需写出解题过程） ．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 和 ;(3) 若点在线段上，（）；若点在边的延长线上，（）．

【解析】

（1）利用平行线分线段成比例定理求解；

（2）分两种情况讨论：①若点E在线段BC上；②若点E在边BC的延长线上．运用勾股定理和三角函数的定义分别求解即可；

（3）分两种情况讨论：①若点E在线段BC上；②若点E在边BC的延长线上，分别用含x的式子表示出BE和DF，利用三角形面积公式求解即可.

解：（1），

，

，，

，

；

（2）①若点在线段上，如图1，设直线与相交于点．

由题意得：．

，

，

，

．

设，则．

又，

，

在中，，

，

，

，，

；

②若点在边的延长线上，如图2，设直线与延长线相交于点．

同理可得：．

，

．

，

，

，

设，则．

在中，，

，

．

，；

（3）分两种情况：

①当点E在BC上时．

∵，BE+CE=3，

∴BE＝，

∴y＝AB·BE，即y＝（x>0）．

②当点E在BC延长线上时，△ADF的面积为所求．

∵，

∴，

又∵AB＝3，

∴FC＝，DF＝3，

∴y＝DF·AD，

∴y＝（）．

综上所述：若点在线段上，（）；若点在边的延长线上，（）．