题目内容

如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A （-15，0），AB=25，AC=15，点C在第二象限，点P是y轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A逆时钟方向旋转．使边AO与AC重合．得到△ACD．
（1）求直线AC的解析式；
（2）当点P运动到点（0，5）时，求此时点D的坐标及DP的长；
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．精英家教网
分析：（1）设直线AC的解析式为：y=kx+b，由于A，C两点都在第二象限，所以k＞0，即：k=tan∠A，将点A代入求出b的值即可；
（2）设点D（x，y）旋转后，CD=OP=5，∠DAC=∠D，根据三角形中∠ABC的正弦，余弦值可以求出x，y即可，由两点间的距离公式求出DP的长即可；
（3）根据题意设点P（0，a），分当a＞0时和当-
15
2
＜a＜0，a＜-
15
2
，列出等量关系求出满足条件a的值，若存在则求出点P的坐标即可．
解答：解：（1）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵点A （-15，0）且C点在第二象限，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴k＞0，即k=tan∠A=
BC
AC
=
AB2-AC2
AC
=
20
15
=
4
3
，
又∵直线AC过点A-15，0），
即：0=
4
3
×（-15）+b，
∴b=20，
∴直线AC的解析式为：y=
4
3
x+20；

（2）点P运动到点（0，5）时，CD=OP=5，AD=
OA2+OP2
=5
10
，
设D（x，y），
则x=-（OA-cos∠DAB×AD）=-（OA-cos∠D×AD）=-10；
y=sin∠DAB×AD=
AC
AD
×AD=AC=
AD2-DC2
=15；
∴D（-10，15），DP=10
2
；

（3）设P（0，a），则
当a＞0时，
1
2
a(
4
5
a+6)=5
解得：a1=
-15+5
17
4
，a2=
-15-5
17
4
（舍去）
当-
15
2
＜a＜0时，
1
2
(-a)(
4
5
a+6)=5．
解得a1=-
5
2
，a2=-5
当a＜-
15
2
时，
1
2
(-a)(-
4
5
a-6)=5
解得a1=
-15+5
17
4
（舍去），a2=
-15-5
17
4

∴存在点P，使△OPD的面积等于5，P1(0，
-15+5
17
4
)，P2（0，-5），P3(0，-
5
2
)，P4(0，
-15-5
17
4
)．
点评：解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．
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BD
AB
=
5
8
，求这时点P的坐标．
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5
29
5
29
．
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5
5
．
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k
x
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k
x
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（2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
（3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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