Question

【题目】如图，AF为⊙O的直径，点B在AF的延长线上，BE切⊙O于点E，过点A作AC⊥BE，交BE的延长线交于点C，交⊙O交于点D，连接AE，EF，FD，DE．

（1）求证：EF＝ED．

（2）求证：DFAF＝2AEEF．

（3）若AE＝4，DE＝2，求sin∠DFA的值．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）．

【解析】

（1）连接OE交DF于H，根据切线的性质得到OE⊥BC，求得OE∥AC，根据平行线的性质得到OE⊥DF，于是得到结论；

（2）根据等腰三角形的性质得到∠EFD＝∠EDF＝∠OEA＝∠OAE，根据相似三角形的性质得到OADF＝AEEF，于是得到结论；

（3）根据圆周角定理得到∠AEF＝∠ADF＝90°，由勾股定理得到AF＝＝10，AD＝＝＝6，根据三角函数的定义即可得到结论．

（1）证明：连接OE交DF于H，

∵BE切⊙O于点E，

∴OE⊥BC，

∵AC⊥BE，

∴OE∥AC，

∵AF为⊙O的直径，

∴AD⊥DF，

∵OE⊥DF，

∴，

∴EF＝DE；

（2）证明：∵EF＝ED，OA＝OE，

∴∠EFD＝∠EDF，∠OEA＝∠OAE，

∵∠EDF＝∠EAO，

∴∠EFD＝∠EDF＝∠OEA＝∠OAE，

∴△DEF∽△AOE，

∴＝，

∴OADF＝AEEF，

∵OA＝AF，

∴AFDF＝AEEF，

∴DFAF＝2AEEF；

（3）解：∵AF为⊙O的直径，

∴∠AEF＝∠ADF＝90°，

∵AE＝4，DE＝EF＝2，

∴AF＝＝10，

∵DFAF＝2AEEF，

∴10DF＝2×，

∴DF＝8，

∴AD＝＝＝6，

∴sin∠DFA＝＝＝．