Question

4．已知关于x的一元二次方程x²-（m+6）x+3m+9=0的两个实数根分别为x₁，x₂．
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若n=x₁+x₂-5，判断动点P（m，n）所形成的函数图象是否经过点A（4，5），并说明理由；
（3）若两根满足x₁-2x₂=m，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由△=b²-4ac，套入数据得出△=m²≥0，由此得出结论；
（2）由根与系数的关系得出x₁+x₂=m+6，结合n=x₁+x₂-5，可得出n=m+1，再验证点A是否在函数n=m+1上即可；
（3）由根与系数的关系结合x₁-2x₂=m，得出关于x₁、x₂、m的三元一次方程组，解方程组即可得出结论．

解答 （1）证明：∵△=b²-4ac=（m+6）²-4（3m+9）=m²+12m+36-12m-36=m²≥0，
∴该一元二次方程总有两个实数根．
（2）解：动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（4，5），理由如下：
∵x₁+x₂=m+6，n=x₁+x₂-5，
∴n=m+1，
∵当m=4时，n=5，
∴动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（4，5）．
（3）解：由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=m+6}\\{{x}_{1}•{x}_{2}=3m+9}\\{{x}_{1}-2{x}_{2}=m}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{{x}_{1}=3}\\{{x}_{2}=2}\end{array}\right.$．
故若两根满足x₁-2x₂=m，m的值为-1．

点评 本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解三元一次方程组，解题的关键是：（1）找出b²-4ac≥0；（2）由两根之间的关系得出n=m+1；（3）结合根与系数的关系找出关于x₁、x₂、m的三元一次方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根与系数的关系结合给定条件得出方程（或方程组）是关键．