Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，作AE∥BC，CE∥AD，AE、CE交于点E．
（1）证明：四边形ADCE是矩形．
（2）若DE交AC于点O，证明：OD∥AB且OD=

1

2

AB．

Answer 1

考点：矩形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：证明题

分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，且BD=CD，再求出四边形ADCE是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）根据矩形的对角线互相平分可得OA=OC，然后求出OD是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明．

解答：证明：（1）∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，且BD=CD，
∵AE∥BC，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是矩形；

（2）∵四边形ADCE是矩形，
∴OA=OC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AB且OD=

1

2

AB．

点评：本题考查了矩形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，熟记特殊四边形的判定与性质是解题的关键．