如图1.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x 轴交于A两点.与y 轴交于点C.顶点为D.对称轴为直线l．(1)求该二次函数的表达式,(2)若点E 是对称轴l 右侧抛物线上一点.且S△ADE=2S△AOC.求点E 的坐标,(3)如图2.连接DC 并延长交x 轴于点F.设P 为线段BF 上一动点.过点P 作PQ∥BD 交直线BC 于点Q.将直线PQ 绕点P 沿顺时针方向旋转45� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．如图1，已知二次函数y=x²+bx+c的图象与x 轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y 轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线l．

（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点E 是对称轴l 右侧抛物线上一点，且S_△ADE=2S_△AOC，求点E 的坐标；
（3）如图2，连接DC 并延长交x 轴于点F，设P 为线段BF 上一动点（不与B、F 重合），过点P 作PQ∥BD 交直线BC 于点Q，将直线PQ 绕点P 沿顺时针方向旋转45°后，所得的直线交DF 于点R，连接QR．请直接写出当△PQR 与△PFR 相似时点P 的坐标．

分析（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得二次函数的表达式；
（2）设E（m，m²-2m-3），过点E作EM∥x轴，交AD于点M，由条件可得△AOC的面积，从而可求得△ADE的面积，利用待定系数法可求得直线AD的解析式，则可用m表示出EM的长，从而可用m表示出△ADE的面积，从而可得到关于m的方程，可求得m的值；
（3）由C、D坐标可求得直线CD的解析式，从而可求得F点坐标，可求得OF=OC，可得∠RFP=∠RPQ=45°，由△PQR 与△PFR 相似得到：△PQR∽△FRP 或△PQR∽△FPR，结合相似三角形的对应边成比例得到点P的坐标．

解答解：（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得$\left\{\begin{array}{l}1-b+c=0\\ 9+3b+c=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ c=-3\end{array}\right.$，
∴二次函数的表达式为y=x²-2x-3；

（2）设E（m，m²-2m-3），过点E作EM∥x轴，交AD于点M，（如图1）

由y=x²-2x-3=（ x-1）²-4得顶点D（1，-4），C（0，-3），
∴${S_{△AOC}}=\frac{1}{2}OA×OC=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，
∴S_△ADE=2S_△AOC=3，
∵A（-1，0）、D（1，-4），
∴直线AD为：y=-2x-2，
∵E（m，m²-2m-3），
∴M（$-\frac{1}{2}{m^2}+m+\frac{1}{2}$，m²-2m-3），
∴EM=$m-（{-\frac{1}{2}{m^2}+m+\frac{1}{2}}）=\frac{1}{2}{m^2}-\frac{1}{2}$，
∴S_△ADE$\frac{1}{2}$×4×EM=2EM=m²-1=3，
解得m=±2（其中m=-2舍去），
∴E（2-3）；

（3）∵C（0，-3），D（1，-4），

∴直线CD的解析式为：y=-x-3．
当y=0时，x=-3，
故F（0，-3），
∴OF=OC=3，
∴∠OFC=45°，即∠PFR=45°．
∵PQ∥BD，
∴∠FPQ≠90°，
∴∠FPR≠45°，
∴当△PQR 与△PFR 相似时：
△PQR∽△FRP，则
点P的坐标是：P₁（$\frac{7}{3}$，0）、P₂（0，0）．

点评本题考查了二次函数综合题，解题时综合运用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，三角形面积的求法以及相似三角形的性质，注意分类讨论数学思想的应用，难度较大．

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7．

图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（　　）

	A．	菱形的对角线互相平分
	B．	一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
	C．	对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
	D．	对角线相等的四边形是矩形