Question

已知：如图，菱形ABCD的对角线交于点O，且AO、BO的长分别是方程x²-（2m-1）x+4（m-1）=0的两根，菱形ABCD的周长为20，求m的值．

Answer 1

解：∵菱形ABCD的周长为20，
∴菱形的边长AB=5，
由直角三角形的三边关系可得：AO²+BO²=25，
又有根与系数的关系可得：AO+BO=2m-1，AO•BO=4（m-1），
∴AO²+BO²=（AO+BO）²-2AO•BO=（2m-1）²-2×4（m-1）=25，
整理得：4m²-12m+9=25，
解得：m=4或-1（舍去）．
故m=4．
分析：由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则AO²+BO²=25，则再根据根与系数的关系可得：AO+BO=2m-1，AO•BO=4（m-1），代入AO²+BO²中，得到关于m的方程后，求得m的值．
点评：本题考查菱形的性质，注意掌握将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．