Question

【题目】如图，Rt△ABC中，BC=4，AC=8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束．在这个运动过程中．

（1）AB中点P经过的路径长_____．

（2）点C运动的路径长是_____．

Answer 1

【答案】 π 8﹣12

【解析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，确定中点P的运动路径：以O为圆心，以OP为半径的圆弧，半径OP=AB=2，代入周长公式计算即可；

（2）分为两种情况：

①当A从O到现在的点A处时，如图2，此时C′A⊥y轴，点C运动的路径长是CC′的长；

②当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图3，此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′；

分别计算并相加．

（1）如图1．

∵∠AOB=90°，P为AB的中点，∴OP=AB．

∵AB=4，∴OP=2，∴AB中点P运动的轨迹是以O为圆心，以OP为半径的圆弧，即AB中点P经过的路径长=×2×2π=π；

（2）①当A从O到现在的点A处时，如图2，此时C′A⊥y轴，点C运动的路径长是CC′的长，∴AC′=OC=8．

∵AC′∥OB，∴∠AC′O=∠COB，∴cos∠AC′O=cos∠COB===，∴OC′=4，∴CC′=4﹣8；

②当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，span>如图3，此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′，CC′=OC′﹣BC=4﹣4．

综上所述：点C运动的路径长是：4﹣8+4﹣4=8﹣12；

故答案为：（1）π； （2）8﹣12．