Question

已知，如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG，请探究：
①线段AE与CG是否相等，请说明理由．
②若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：①根据正方形的性质求出AB=BC，∠EBA=∠GBC，∠A=∠GCB，证△AEB≌△CGB即可；
②证△ABE∽△DEH，得到比例式代入求出即可．

解答：解：①AE=CG，理由是：
∵正方形ABCD和正方形BEFG，
∴∠A=∠DCB=∠ABC=∠EBG=90°，AB=BC，
∴∠EBA=∠GBC，
在△AEB和△CGB中
∠A=∠GCB=90°，AB=BC，∠EBA=∠GBC，
∴△AEB≌△CGB，
∴AE=CG．

②∵正方形BEFG和正方形ABCD，
∴∠D=∠A=90°，∠HEB=90°，
∴∠DEH+∠AEB=90°，∠DEH+∠DHE=90°，
∴∠DHE=∠AEB，
∴△ABE∽△DEH，

AB

DE

=

AE

DH

，
即

1

1-x

=

x

y

，
∴y=-x²+x=-(x-

1

2

)2+

1

4

，
当x=

1

2

时，y最大，最大值是

1

4

．
答：当x取

1

2

时，y最大，最大值是

1

4

．

点评：本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．