Question

【题目】已知中，，，过顶点作射线.

（1）当射线在外部时，如图①，点在射线上，连结、，已知，，（）.

①试证明是直角三角形；

②求线段的长.（用含的代数式表示）

（2）当射线在内部时，如图②，过点作于点，连结，请写出线段、、的数量关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）①详见解析；（2）（）；（2），理由详见解析.

【解析】

（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断；

②过点C作CE⊥CD交DB的延长线于点E，利用同角的余角相等证明∠3=∠4，∠1=∠E，进而证明△ACD≌△BCE，求出DE的长，再利用勾股定理求解即可.

（2）过点C作CF⊥CD交BD的延长线于点F，先证∠ACD=∠BCF，再证△ACD≌△BCF，得CD=CF，AD=BF，再利用勾股定理求解即可.

（1）①∵

又∵

∴

∴△ABD是直角三角形

②如图①，过点C作CE⊥CD交DB的延长线于点E，

∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°，∠4+∠BCD=∠DCE=90°

∴∠3=∠4

由①知△ABD是直角三角形

∴

又∵

∴∠1=∠E

在和中，

∴△ACD≌△BCE

∴，

∴

又∵，

∴由勾股定理得

∴（）

（2）AD、BD、CD的数量关系为：，

理由如下：

如图②，过点C作CF⊥CD交BD的延长线于点F，

∵∠ACD=90°+∠5，∠BCF=90°+∠5

∴∠ACD=∠BCF

∵BD⊥AD

∴∠ADB=90°

∴∠6+∠7=90°

∵∠ACB=90°

∴∠9=∠8=90°

又∵∠6=∠8

∴∠7=∠9

和中

∴△ACD≌△BCF

∴CD=CF，AD=BF

又∵∠DCF=90°

∴由勾股定理得

又DF=BF-BD=AD-BD

∴