Question

如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA边相切于点C，

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）PO的延长线交⊙O于E，EA⊥PA于A.设PE交⊙O于另一点G，AE交⊙O于点F，连接FG，若⊙O的半径是3，＝.

①求弦CE的长；②求的值.



Answer 1

 (1)证明：连接OC，过点O作OD⊥PB于点D，

      ∵PA切⊙O于点C, ∴OC⊥PA

∵PO平分∠BPA,

        ∴OC=OD

      ∴PB是⊙O的切线；    （2）①连接CG，

      ∵EA⊥PA于A∴∠APC+∠ECA=90°

      ∵OC⊥PA, ∴∠OCE+∠EAC=90°

∴∠OCE=∠CEA

∵OC=OE, ∴∠OCE=∠OEC

∴∠AEC=∠CEG

∵EG为⊙O的直径，∴∠ECG=90°

∵tan∠AEC= , ∴tan∠CEG=

        设CG=，则CE=，∵⊙O的半径为3，∴直径EG=6

            ∴

          解之得，（不合题意，舍去）

       ∴ 

       ②∵OC⊥PA, ∴∠OCG+∠PCG=90°

∵OC=OE, ∴∠OCG=∠OGC

而∠ECG=90°，∴∠OGC+CEG=90°

∴∠PCG=∠CEG

         ∵∠EPC=∠CPG

       ∴△PCG∽△PEC  ∴   

         设PG=则PC=，在Rt△POC中，OG=OC=3

       用勾股定理易得

            ∵∠GFE=∠PAE=90°∴GF∥PA

          ∴△EGF∽△EPA

∴