Question

（2012•湖北模拟）如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA边相切于点C，
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）PO的延长线交⊙O于E，EA⊥PA于A．设PE交⊙O于另一点G，AE交⊙O于点F，连接FG，若⊙O的半径是3，

AC

AE

=

1

2

，
①求弦CE的长；②求

FG

PA

的值．

Answer 1

分析：（1）连接OC，过点O作OD⊥PB于点D，根据切线的定义可得OC⊥PA，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OC=OD，再根据切线的定义判定即可；
（2）①连接CG，根据垂直的定义可得∠AEC+∠ECA=90°，再根据切线的定义可得OC⊥PA，然后求出∠OCE+∠EAC=90°，然后求出∠OCE=∠CEA，再根据等边对等角可得∠OCE=∠OEC，从而得到∠AEC=∠CEG，再根据直径所对的圆周角是直角求出∠ECG=90°，然后利用∠AEC和∠CEG的正切值相等列式求解即可得到

CG

CE

=

1

2

，然后设CG=x，表示出CE=2x，在Rt△CEG中，利用勾股定理列式计算即可求出x，然后求出CE即可；
②根据同角的余角相等求出∠PCG=∠CEG，然后求出△PCG和△PEC相似，再根据相似三角形对应边成比例求出

PG

PC

=

CG

CE

=

1

2

，然后设PG=m，表示出PC=2m，在Rt△POC中，利用勾股定理列式求出m的值，再求出△EGF和△EPA相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．

解答：（1）证明：如图，连接OC，过点O作OD⊥PB于点D，
∵PA切⊙O于点C，
∴OC⊥PA，
∵PO平分∠BPA，
∴OC=OD，
∴PB是⊙O的切线；

（2）解：①连接CG，
∵EA⊥PA于A，
∴∠AEC+∠ECA=90°，
∵OC⊥PA，
∴∠OCE+∠EAC=90°，
∴∠OCE=∠CEA，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠AEC=∠CEG，
∵EG为⊙O的直径，
∴∠ECG=90°，
∵tan∠AEC=

AC

AE

=

1

2

，
∴tan∠CEG=

CG

CE

=

1

2

，
设CG=x，则CE=2x，
∵⊙O的半径为3，
∴直径EG=6，
∴x²+（2x）²=6²，
解之得，x₁=

6 5

5

，x₂=-

6 5

5

（不合题意，舍去），
∴x=

6 5

5

，CE=2x=

12 5

5

；

②∵OC⊥PA，
∴∠OCG+∠PCG=90°，
∵OC=OE，
∴∠OCG=∠OGC=∠ECG=90°，
∴∠OGC+CEG=90°，
∴∠PCG=∠CEG，
∵∠EPC=∠CPG，
∴△PCG∽△PEC，
∴

PG

PC

=

CG

CE

=

1

2

，
设PG=m，则PC=2m，在Rt△POC中，OG=OC=3，
根据勾股定理，PC²+OC²=PO²，
即（2m）²+3²=（m+3）²，
解得m₁=2，m₂=0（舍去），
∵∠GFE=∠PAE=90°，
∴GF∥PA，
∴△EGF∽△EPA，
∴

FG

PA

=

EG

EP

=

6

6+2

=

3

4

．

点评：本题考查了圆的综合题型，主要利用了圆的切线的定义与判定，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合题，但难度不大，仔细分析便不难求解．