题目内容
如图，在等腰△ABC中，AB=AC，分别过点B、C作两腰的平行线，经过点A的直线与两平行线分别交于点D、E，连接DC、BE，DC与AB边相交于点M，BE与AC边相交于点N．求证：AM=NC．分析：首先延长DB、EC交于点P，由BD∥AC，AB∥EC，可得四边形ABPC为平行四边形，又由AB=AC，即可证得：?ABPC是菱形，可得AB=BP=PC=CA，又可证得：△EAC∽△EDP与△AMC∽△PCD，根据相似三角形的对应边成比例，则可证得：CN=AM．
解答：证明：延长DB、EC交于点P，
∵BD∥AC，AB∥EC，
∴四边形ABPC为平行四边形，
∵AB=AC，
∴?ABPC是菱形，
∴AB=BP=PC=CA，
∵BD∥AC，
∴△EAC∽△EDP，
∴
=
，
同理：
=
，
∴
=
，
∵四边形ABPC是平行四边形，
∴∠BAC=∠P，
∵AC∥DP，
∴∠ACD=∠CDP，
∴△AMC∽△PCD，
∴
=
，
∵AC=CP，
∴
=
，
∵AC=BP，
∴AM=CN．
∵BD∥AC，AB∥EC，
∴四边形ABPC为平行四边形，
∵AB=AC，
∴?ABPC是菱形，
∴AB=BP=PC=CA，
∵BD∥AC，
∴△EAC∽△EDP，
∴
| AC |
| DP |
| EC |
| EP |
同理：
| NC |
| BP |
| EC |
| EP |
∴
| AC |
| DP |
| NC |
| BP |
∵四边形ABPC是平行四边形，
∴∠BAC=∠P，
∵AC∥DP，
∴∠ACD=∠CDP，
∴△AMC∽△PCD，
∴
| MA |
| CA |
| CP |
| DP |
∵AC=CP，
∴
| MA |
| CA |
| NC |
| BP |
∵AC=BP，
∴AM=CN．
点评：此题考查了平行四边形，菱形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题综合性很强，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
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| ||
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