Question

15．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E是边BC上的动点（不与点B，C重合），以AE为边作∠EAF，使得∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，射线AF交边CD于点F．
（1）如图1，当点E是边CB的中点时，判断并证明线段AE，AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E不是边BC的中点时，求证：BE=CF．

Answer 1

分析 （1）AE=AF，易证△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得△AEF是等边三角形即可；
（2）由（1）可知∠B=60°，△ABCA是等边三角形，∠EAF=60°，再结合已知条件可证明△ABE≌△ACF（ASA），由全等三角形的性质即可得到BE=CF．

解答 解：（1）AE=AF，理由如下：
连接AC．如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°．
∴∠B=∠ACF=60°．
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD．
∴∠AEB=∠AFC．
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACF}\\{∠AEB=∠AFC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（AAS）．
∴AE=AF．
（2）证明：由（1）得：∠B=60°，△ABCA是等边三角形，∠EAF=60°，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
∴∠BAE=∠CAF，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACD=∠BCD-∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠B=60°，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CAF}\\{AB=AC}\\{∠B=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE=CF．

点评 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．