题目内容

如下图所示，∠APC称为圆内角(角的顶点在圆内且与圆心不重合)．

(1)请同学们按以下步骤作图：

①用圆规作⊙O；

②在⊙O内作一个圆内角∠APC(∠APC≤90°)；

③延长AP，CP交⊙O于B，D两点；

④连接OA，OB，OC，OD．

(2)按此作图步骤再重复作一个图形，对应点用，，，，，来表示．

(3)用量角器量出两图中的下列各角的度数：∠APC＝________，∠＝________，∠AOC＝________，∠＝________，∠BOD＝________，∠＝________．

(4)根据上面量得的两组数据猜想∠APC与∠AOC，∠BOD有什么数量关系？

(5)根据你所作的(1)中的图证明你的猜想．

(6)用语言描述你证明的结果．

答案：
解析：

　　解：(1)如图1所示．

　　(2)如图2所示．

　　(3)略

　　(4)猜想∠APC＝∠AOC＋∠BOD．

　　证明：(5)如图1所示，连接BC，

　　∵∠APC＝∠PBC＋∠PCB，

　　且∠PBC＝∠AOC，∠PCB＝∠DOB，

　　∴∠APC＝∠AOC＋∠DOB．

　　解：(6)结论：圆内角等于它所对的弧的圆心角与这个圆内角的对顶角所对的弧的圆心角和的一半．

　　分析：本题是集作图、测量、猜想、证明、归纳于一体的探究题，由特殊猜想一般的结论，再进行推理证明．对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用．同时对于学生创新能力的培养也能起到重要的促进作用．


练习册系列答案
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已知如下图所示，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部的一点，且∠APB≠∠APC．求证PB≠PC．

如下图所示，AB∥CD，且∠BAP＝60°－α，∠APC＝45°＋α，∠PCD＝30°－α，则α＝________．

如下图所示，⊙O的直径是4 cm，C是的中点，弦AB，CD交于P，CD＝2cm，求∠APC的度数．

如下图所示，P为△ABC内一点。

（1）求证：∠APC >∠B；

（2）若∠B＝40°，AP平分∠BAC，CP平分∠ACB，求∠APC的度数。

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