Question

2．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，点E是边BC的中点，联结AE，若将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，联结FC，则cos∠ECF=$\frac{5\sqrt{61}}{61}$．

Answer 1

分析 由矩形的性质得出∠B=90°，BC=AD=10，由勾股定理求出AE，由翻折变换的性质得出△AFE≌△ABE，得出∠AEF=∠AEB，EF=BE=5，因此EF=CE，由等腰三角形的性质得出∠EFC=∠ECF，由三角形的外角性质得出∠AEB=∠ECF，cos∠ECF=cos∠AEB=$\frac{BE}{AE}$，即可得出结果．

解答 解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，BC=AD=10，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=5，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{61}$，
由翻折变换的性质得：△AFE≌△ABE，
∴∠AEF=∠AEB，EF=BE=5，
∴EF=CE，
∴∠EFC=∠ECF，
∵∠BEF=∠EFC+∠ECF，
∴∠AEB=∠ECF，
∴cos∠ECF=cos∠AEB=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{5}{\sqrt{61}}$=$\frac{5\sqrt{61}}{61}$．
故答案为：$\frac{5\sqrt{61}}{61}$．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角函数；熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，证出∠AEB=∠ECF是解决问题的关键．