题目内容

已知：如图，过点O且半径为5的⊙P交x的正半轴于点M（2m，0），交y轴的负半轴于点D；弧OBM与弧OAM关于x轴对称，其中A、B、C是过点P且垂直于x轴的直线与两弧及圆的交点，以点B为顶点且过点D的抛物线l交⊙P与另一点E．
（1）当m=4时，求出抛物线l的函数关系式并写出点E的坐标；
（2）当m取何值时，四边形BDCE面积最大？最大面积是多少？
（3）是否存在实数m，使得四边形BDCE为菱形？并说明理由．

解：（1）连接OP，OB，
∵过点O且半径为5的⊙P交x的正半轴于点M（2m，0），m=4，
∴M点坐标为：（8，0），
∴ON=4，
∴NP= $\text{[math]}$ =3，
∴AN=5-NP=2，
∴BN=2，
∴B点坐标为：（4，-2），P点坐标为：（4，-3），
图象过（0，0）点，
故将顶点（4，-2）代入顶点式得y=a（x-4）²-2，
则0=a（0-4）²-2，
解得a=- $\text{[math]}$ ．
抛物线的函数关系式为：y=- $\text{[math]}$ （x-4）²-2．

x=0时，y=-6，故D点坐标为（0，-6），抛物线对称轴为x=4，
故根据对称可知：E（8，-6）；

（2）∵点M（2m，0），
∴AN=PA-NP= $\text{[math]}$ ，故A点坐标为：（m， $\text{[math]}$ ），可得B（m， $\text{[math]}$ ），
C（m， $\text{[math]}$ ），D（0， $\text{[math]}$ ），E（2m， $\text{[math]}$ ），
四边形BDCE的面积为：S= $\text{[math]}$ BC•DE= $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ ×2m=2 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
所以当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ （负值舍去）时，面积有最大值．
四边形面积的最大值为： $\text{[math]}$ ．

（3）设A（m，h），则B的坐标为（m，-h），C的坐标为（m，h-10），

假设以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形，则DE与BC互相垂直平分，设DE与BC相交于点F，于是BF=CF．
则10-3h=h，
即 $\text{[math]}$ ，
故BC=5，
此时B、P两点重合，
故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
或：因为BC垂直且平分DE，所以DE平分BC时，四边形BDCE是菱形．
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
分析：（1）可连接OP，PM，设AC与OM交于N，那么在直角三角形OPN中，OP=5，ON=m=4．因此PN=3，AN=BN=2，CN=PC+PN=8，因此A，B，C的坐标分别为（4，2），（4，-2），（4，-8）．可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式，根据圆和抛物线的对称性可知：E点和D点关于抛物线的对称轴x=4对称，因此根据D的坐标即可求出E点的坐标．
（2）根据M（2m，0）得出A、B、C、D、E点的坐标，进而表示出四边形BDCE的面积，利用二次根式性质得出最值即可．
（3）如果以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形，那么这个四边形的对角线互相垂直平分，如果设BC，DE的交点为F，那么BF=CF，可用A点的纵坐标即AN的长表示出BF和CF由此可求出A点的纵坐标，进而可在直角三角形OAN中用勾股定理求出m的值．
点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式、垂径定理、勾股定理、菱形的性质等重要知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．